Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ) » Кафедра «Теоретическая механика» | О предмете

Кафедра «Теоретическая механика» | О предмете

История теоретической (и не только) механики

Механика — одна из самых древних наук. Она возникла и развивалась под влиянием запросов общественной практики, а также благодаря деятельности человеческого мышления. Многие законы механического движения и равновесия материальных тел познавались человечеством путем многократных повторений, чисто экспериментально. Этот общественно-исторический опыт, передаваемый от поколения к поколению, и был тем исходным материалом, на анализе которого развивалась механика как наука.

Первые дошедшие до наших дней рукописи и научные сообщения в области механики принадлежат античным ученым Египта и Греции. Древнейшие папирусы и книги, в которых сохранились исследования некоторых простейших задач механики, относятся главным образом к различным задачам статики, т. е. учению о равновесии. В первую очередь здесь нужно назвать сочинения выдающегося философа древней Греции Аристотеля (384—322 гг. до нашей эры), который ввел в научную терминологию название механика  для широкой области человеческого знания, в которой изучаются простейшие движения материальных тел, наблюдающиеся в природе и создаваемые человеком при его деятельности.

Многие рассуждения Аристотеля о явлениях механического движения наивны, запутанны, непоследовательны. Исходя из общих аксиоматических положений, он часто делал ложные заключения о закономерностях конкретных явлений. Пренебрежение экспериментом и ряд выводов, основанных на непосредственном созерцании видимых процессов движения тел без последующего количественного анализа, привели Аристотеля к результатам, не подтверждающимся научно поставленным опытом.

К правильным догадкам Аристотеля относится содержание теоремы о сложении скоростей и утверждение, что воздух имеет вес.

Полагая, что мир идей является более совершенным, чем мир вещей, и считая эксперимент делом рабов, последователи Аристотеля не обращали большого внимания на явное несогласие многих теоретических выводов Аристотеля с простейшими опытами.

Научные основы учения о равновесии были заложены гениальным Архимедом (287—212 гг. до нашей эры), который первым из ученых начал успешно применять строгие математические методы к исследованию проблем механики.

 
Архимед. (287—212 гг. до нашей эры)
(Репродукция с картины Д. Фети,
хранящейся в Дрезденской галерее)
 

В своем сочинении о равновесии плоских фигур и о центре тяжести Архимед открыл закон равновесия рычага и установил основные принципы статики твердого тела. Архимед в теории рычага исходит из следующих допущений (постулатов), которые он считает само собой понятными:
1. Равные грузы, приложенные к равным плечам рычага, уравновешиваются.
2. Равные грузы, приложенные к неравным плечам рычага, не находятся в равновесии. Груз, приложенный к более длинному плечу, падает вниз.
3. Если грузы, подвешенные на каких-нибудь плечах рычага, находятся в равновесии, то если к одному из грузов что-либо добавить, то равновесие нарушится и груз, к которому прибавлено, будет падать вниз.
4. Точно так же, если от одного груза отнять что-либо, то равновесие нарушится и груз, от которого не было отнято, будет падать вниз.

Из этих вполне очевидных аксиоматических положений Архимед получил условие равновесия рычага. Любые (соизмеримые или несоизмеримые) грузы находятся в равновесии, когда плечи рычага обратно пропорциональны грузам (формулировка закона равновесия рычага дана в дошедшем до нас сочинении Архимеда «О равновесии плоских тел, или о центрах тяжести плоских тел»).

Этим условием равновесия рычага мы пользуемся в статике до сих пор. Доказательства, данные Архимедом, видоизменялись в дальнейшем различными авторами, но, как справедливо заметил Лагранж, эти авторы, нарушив простоту доказательств Архимеда, почти ничего не выиграли с точки зрения точности.

Интенсивное развитие механики началось в эпоху Возрождения с начала XV века в Италии, а затем и в других странах. В эту эпоху особенно большой прогресс в развитии механики был достигнут благодаря работам Леонардо да Винчи (1452— 1519), Коперника (1473—1543) и Галилея (1564—1642).

Знаменитый итальянский художник, математик, механик и инженер, Леонардо да Винчи занимался исследованиями по теории механизмов (им построен эллиптический токарный станок), изучал трение в машинах, исследовал движение воды в трубах и движение тел по наклонной плоскости. Он первый познал чрезвычайную важность нового понятия механики - момента силы относительно точки. Исследуя равновесие сил, действующих на блок, Леонардо да Винчи установил, что роль плеча силы играет длина перпендикуляра, опущенного из неподвижной точки блока на направление веревки, несущей груз. Равновесие блока возможно только в том случае, если произведения сил на длины соответствующих перпендикуляров будут равны; иначе говоря, равновесие блока возможно только при условии, что сумма статических моментов сил относительно точки привеса блока будет равна нулю.

Революционный переворот в воззрениях на строение вселенной был произведен польским ученым Николаем Коперником, который, как образно написано на его памятнике в Варшаве, «остановил Солнце и сдвинул Землю». Новая, гелиоцентрическая система мира объясняла движение планет, исходя из того, что Солнце является неподвижным центром, около которого по окружностям совершают движения все планеты. Вот подлинные слова Коперника, взятые из его бессмертного произведения: «То, что нам представляется как движение Солнца, происходит не от его движения, а от движения Земли и ее сферы, вместе с которой мы обращаемся вокруг Солнца, как любая другая планета. Так, Земля имеет больше, чем одно движение. Видимые простые и попятные движения планет происходят не в силу их движения, но движения Земли. Таким образом, одно движение Земли достаточно для объяснения и столь многих видимых неравенств на небе».

В работе Коперника была вскрыта главная особенность движения планет и даны расчеты, относящиеся к предсказаниям солнечных и лунных затмений. Объяснения возвратных видимых движений Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна относительно сферы неподвижных звезд приобрели ясность, отчетливость и простоту. Коперник ясно понимал кинематику относительного движения тел в пространстве. Он пишет: «Всякое воспринимаемое изменение положения происходит вследствие движения либо наблюдаемого предмета, либо наблюдателя, либо вследствие движения того и другого, если, конечно, они различны между собой; ибо когда наблюдаемый предмет и наблюдатель движутся одинаковым образом и в одном направлении, то не замечается никакого движения между наблюдаемым предметом и наблюдателем».

Титульный лист первого издания (1638 г.) основополагающей работы Галилея по теоретической механике «Беседы и математические доказательства...»

Работы гениального итальянского ученого Галилея имели фундаментальное значение для развития динамики.

 
 

Галилео Галилей (1564—1642)

Динамика как наука была основана Галилеем, который открыл многие весьма важные свойства равноускоренных и равнозамедленных движений. Основания этой новой науки были изложены Галилеем в книге под названием «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».

В главе III, посвященной динамике, Галилей пишет: «Мы создаем новую науку, предмет которой является чрезвычайно старым. В природе нет ничего древнее движения, но именно относительно него философами написано весьма мало значительного. Поэтому я многократно изучал на опыте его особенности, вполне этого заслуживающие, но до сего времени либо неизвестные, либо недоказанные. Так, например, говорят, что естественное движение падающего тела есть движение ускоренное. Однако в какой мере нарастает ускорение, до сих пор не было указано; насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечетные числа. Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды описывают некоторую кривую линию, но того, что эта линия является параболой, никто не указал».

До Галилея силы, действующие на тела, рассматривали обычно в состоянии равновесия и измеряли действие сил только статическими методами (рычаг, весы). Галилей указал, что сила есть причина изменения скорости, и тем самым установил динамический метод сравнения действия сил. Исследования Галилея в области механики важны не только теми результатами, которые ему удалось получить, но и последовательным введением в механику экспериментального метода исследования движений.

Так, например, закон изохронности колебаний маятника при малых углах отклонения, закон движения точки по наклонной плоскости были исследованы Галилеем путем тщательно поставленных опытов.

Благодаря работам Галилея развитие механики прочно связывается с запросами техники, и научный эксперимент планомерно вводится как плодотворный метод исследования явлений механического движения. Галилей в своих беседах прямо говорит, что наблюдения над работой «первых» мастеров в венецианском арсенале и беседы с ними помогли ему разобраться в «причинах явлений не только изумительных, но и казавшихся сперва совершенно невероятными». Многие положения механики Аристотеля были Галилеем уточнены (как, например, закон о сложении движений) или весьма остроумно опровергнуты чисто логическими рассуждениями (опровержение путем постановки опытов считалась в то время недостаточным). Итак, Галилей был зачинателем современной динамики. Законы инерции и независимого действия сил Галилей отчетливо понимал в их современной форме.

 

 

Титульный лист известной работы Галилея «Звездный вестник» с его дарственной надписью. (Работа была подарена лирическому поэту Габриелю Кьябрера — другу Галилея.)

Работы Галилея были продолжены и развиты Гюйгенсом (1629—1695), который разработал теорию колебаний физического маятника и установил законы действия центробежных сил. Гюйгенс распространил теорию ускоренных и замедленных движений одной точки (поступательного движения тела) на случай механической системы точек. Это было значительным шагом вперед, так как позволило изучать вращательные движения твердого тела. Гюйгенс ввел в механику понятие о моменте инерции тела относительно оси и определил так называемый «центр качаний» физического маятника.

Титульный лист работы Галилея «Диалог о двух системах мира»

Труды Гюйгенса по механике явились продолжением исследований Галилея и были широко использованы Ньютоном, который считал основную работу Гюйгенса «Маятниковые часы» превосходной.
Завершение построения основ современной механики медленных (по сравнению со скоростью света) движений было сделано великим английским математиком и механиком И. Ньютоном (1643—1727), который в своей книге «Математические начала натуральной философии» дал вполне строгую и достаточно полную систему законов классической механики. Ньютон определяет рациональную механику как учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений.

Титульный лист первого издания (1687 г.) работы И. Ньютона «Математические начала натуральной философии»

Ньютону принадлежит открытие двух важнейших законов механики: закона действия и противодействия и закона всемирного тяготения. Закон равенства действия и противодействия позволяет изучать движения механических систем точек и исследовать наиболее естественным методом законы несвободных движений. Закон всемирного тяготения расширил границы приложения механики и дал научную основу для обработки астрономических наблюдений и теоретических расчетов движений небесных тел.

Основной закон механики (второй закон Ньютона) был сформулирован Ньютоном, в отличие от работ предшествующих ученых, в дифференциальной форме. Это позволило рассмотреть многочисленные задачи, где движение определяется переменными силами. Механические задачи, решенные Галилеем, превратились после исследований Ньютона в простые частные случаи.

Систематическое применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было проведено впервые со всей последовательностью великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в Петербурге, будучи членом Российской Академии наук.

Применение в механике геометрического метода Евклида требовало большого искусства, и решение каждой новой задачи представляло значительные трудности. Аналитический метод во многих случаях облегчает получение исходных уравнений движения и позволяет провести решение кратчайшим и простейшим путем.

На заре развития дифференциального и интегрального исчислений Эйлер первым оценил величайшее могущество нового математического метода для задач теоретической механики. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений есть вполне адекватный аппарат для познания сущности большого класса механических движений. Именно поэтому Эйлеру в своих работах удалось раздвинуть границы механики до пределов, о которых в те годы ученые даже и не мечтали.

Большое влияние на развитие теоретической механики в России оказал гениальный русский ученый, поэт, философ и инженер М. В. Ломоносов (1711—1765). Его ярко выраженный последовательный материализм, настойчивая и страстная борьба за честь и процветание русской науки, найденные им конкретные результаты в области изучения механических движений открыли новую страницу научных изысканий в нашей стране.

Ломоносов хорошо понимал, что изменение механического движения происходит за счет активной передачи движения от одного тела к другому. Его трактовка понятия силы близка к современной. В ряде своих трудов Ломоносов разрабатывал проблему соотношения массы инертной и массы тяготеющей. Он писал: «...но я считаю невозможным приложить теорему о пропорциональности массы и веса к мельчайшим единицам тел природы, если мы не хотим все время ошибаться». По Ломоносову, объяснение основных качественных признаков тел нужно искать в нечувствительных физических частичках (атомах), составляющих тела природы. Притяжение, сила инерции, форма и движение этих частичек определяют общие, интегральные свойства тел. Главную задачу науки Ломоносов видел в том, чтобы объяснять многообразие явлений и законов природы из движения и взаимодействия мельчайших частиц материи.

В 1743 году французский энциклопедист и математик Даламбер (1717—1783) предложил прямой и общий метод решения задач динамики, который называют теперь принципом Даламбера. С помощью этого принципа можно составить уравнения для любой задачи движения несвободной механической системы и, следовательно, трудности разбора механических задач в значительной степени свести к трудностям интегрирования дифференциальных уравнений. В тех же случаях, когда нужно найти ускорения системы тел, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений и, следовательно, решается сравнительно легко.

Аналитический метод решения основных задач механики получил весьма широкие обобщения в научных изысканиях крупнейшего французского ученого Лагранжа (1736—1813).

 
 

Ж.Л. Лагранж (1736—1813)

В книге Лагранжа «Аналитическая механика» все основные результаты получены на основе одного общего метода, называемого принципом виртуальных (возможных) перемещений. В предисловии к этой книге, опубликованной первым изданием в 1788 году, Лагранж пишет: «В этой работе отсутствуют какие бы то ни было чертежи. Излагаемые мной методы не требуют ни построений,  ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения».

Принцип возможных перемещений, положенный Лагранжем в основу механики, оказался одним из наиболее общих и плодотворных методов исследования механического движения и равновесия материальных тел, однако механика, являющаяся наукой о природе, не стала главой математического анализа. Задачи, относящиеся к теории упругости, теории пластичности, гидро - и аэромеханике, т. е. к механике деформируемых тел, в большем числе случаев получают ясное решение, если из необходимых уравнений классической механики твердого тела взять те, которые получаются методом возможных перемещений. «И вообще, мне кажется, можно сказать наперед, что все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представили бы собой не что иное, как тот же самый принцип возможных перемещений, рассматриваемый с иной точки зрения и отличающийся от принципа возможных перемещений лишь по своей формулировке» (Ж. Л. Лагранж, Аналитическая механика, ч. 1, 1938, стр. 5).

Аналитические методы, предложенные Лагранжем, обладают весьма большой общностью, и их дальнейшее развитие привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики, из которых основные теоремы механики Ньютона получаются при частных предположениях.

Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения, и в частности устойчивости равновесия. Наличие устойчивости положений равновесия консервативной механической системы в случае минимума потенциальной энергии системы было известно еще Лагранжу. Строгое доказательство этой теоремы, приводимой в большинстве современных курсов механики, дано Лежен -Дирихле (1805—1859).

Наиболее существенные и глубокие результаты по изучению устойчивости движения были получены выдающимся русским математиком и механиком А. М. Ляпуновым (1857—1918).

Предложенные Ляпуновым методы оказались столь мощными и плодотворными, что в настоящее время большинство работ по теории устойчивости посвящены или развитию этих методов, или их приложению к практическим задачам.

Ряд методов в теории устойчивости движения, развитых Раусом, Жуковским и другими авторами для систем первого приближения, получил в работах Ляпунова математически строгое обоснование и определение границ применения.

Одновременно с развитием аналитических методов в XIX столетии начали усовершенствоваться и геометрические методы исследования задач механики. Так, в вышедшей в 1804 году книге французского механика и геометра Пуансо (1777—1859) «Элементы статики» использован наглядный геометрический метод изложения.

Пользуясь геометрическими построениями, Пуансо находит все основные свойства рассматриваемых механических движений. Особенно удачным было применение геометрического метода к задаче о движении твердого тела около неподвижной точки в том случае, когда момент внешних сил относительно этой точки равен нулю. Эта задача была решена аналитическим методом еще Эйлером, но геометрическая интерпретация, данная Пуансо, позволила представить это сложное движение так ясно, что исследование решения в эллиптических функциях стало почти излишним.

Особенно много работал над развитием геометрических методов в различных областях теоретической и технической механики знаменитый профессор Московского университета Н. Е. Жуковский (1847—1921). В своих работах и статьях он неоднократно говорит о том, что механика должна в одинаковой мере опираться на анализ и геометрию, заимствуя у них то, что более подходит к существу задачи. Представители аналитического метода, стремясь возможно шире ставить рассматриваемые вопросы, часто игнорируют геометрическую и механическую трактовку реальных задач природы, вызывая этим непреодолимые аналитические трудности, часто не оправдываемые физической сущностью проблемы. Жуковский произвел подлинную революцию в преподавании теоретической механики в высшей школе нашей страны. Созданные им учебники по механике являются золотым фондом русской научной литературы.

Работы Н. Е. Жуковского по аэродинамике были развиты трудами выдающегося русского механика академика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Отлично владея методами математического анализа и будучи аналитиком по складу своего творческого мышления, Чаплыгин предугадал в ряде работ последующее развитие технической аэродинамики. Ему принадлежат замечательные исследования по теории механизированного крыла (крыла с предкрылком, крыла со щитком), актуальность которых выяснилась лет через 15-20 после их опубликования. Еще в 1904 году Чаплыгин создал метод изучения движения газов при больших дозвуковых скоростях, заложив основы плодотворного исследования широкого класса задач аэродинамики больших скоростей. В научно-технической литературе эта работа получила всеобщее признание лишь в 1935 году. Чаплыгин развил теорию профиля крыла самолета, указав на плодотворность применения к этим задачам методов теории функций комплексного переменного. Он является зачинателем нового раздела аэродинамики - теории крыла при ускоренных и замедленных движениях. Чаплыгин разработал оригинальную теорию решетчатого крыла, нашедшую сейчас широкое применение в расчетах турбомашин.

В конце XIX и начале XX века началась интенсивная разработка нового раздела теоретической механики, посвященного движению тел, масса которых изменяется с течением времени. Основные результаты в этом направлении получены русскими учеными: профессором Ленинградского политехнического института И. В. Мещерским (1859—1935) и выдающимся деятелем науки К. Э. Циолковским (1857—1935).

Работы Мещерского, посвященные теории движения точки переменной массы, имели в виду главным образом астрономические приложения. Мещерский первый в 1897 году получил основное дифференциальное уравнение движения точки переменной массы и рассмотрел ряд интересных частных задач. Законы изменения массы, которые Мещерский ввел в задачи небесной механики, известны в астрономической литературе как законы Мещерского. При условии постоянства массы из уравнения Мещерского вытекает второй закон Ньютона. В 1904 году Мещерский получил основные уравнения и решил ряд задач динамики точки переменной массы для случаев одновременного присоединения и отделения частиц. Работы Мещерского являются научной основой для изучения движения ракет, реактивных самолетов, метеоритов, комет и других тел переменной массы. Мещерский был выдающимся педагогом русской высшей технической школы. Особое значение он придавал конкретным техническим задачам по механике. Составленный им сборник задач по теоретической механике выдержал более 25 изданий и до настоящего времени является настольной книгой студентов технических университетов.